线段的垂直平分线教案

线段的垂直平分线教案

作为一位兢兢业业的人民教师，通常需要准备好一份教案，借助教案可以有效提升自己的教学能力。如何把教案做到重点突出呢？下面是小编整理的线段的垂直平分线教案，仅供参考，欢迎大家阅读。

教学目标

1、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力

2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论

教学重点和难点

重点：线段的垂直平分线性质与逆定理及其的应用

难点：线段的垂直平分线的逆定理的理解和证明

教学方法观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法

教学手段多媒体课件

教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

这节课，我们来研究线段的垂直平分线的尺规作图和性质。

二、师生共同研究形成概念

1、线段垂直平分线的性质

1)猜想：我们看看上面我们所作的线段的垂直平分线有什么性质?

引导学生自主发现线段垂直平分线的性质。

2)想一想书本P24上面

应先让学生自己思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程。

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

要证明一个图形上每一点都具有某种性质，只需要在图形上任取一点作代表。这一思想方法应让学生理解。

3)符号语言

∵P在线段AB的垂直平分线CD上

∴PA=PB

4)定理解释：

P为CD上的任意一点，只要P在CD上，总有PA=PB。

5)此定理应用于证明两条线段相等

2巩固练习

1)如图，已知直线AD是线段AB的垂直平分线，则AB=。

2)如图，AD是线段BC的垂直平分线，AB=5，BD=4，则AC=，CD=，AD=。

3)如图，在△ABC中，AB=AC，∠AED=50°，则∠B的度数为。

2、线段垂直平分线的逆定理

1)想一想书本P24想一想

教学引入

师：教材在《四边形》这一章《引言》里有这样一句话：把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。现在请同学们拿出一个长方形纸条，按动画所示进行折叠处理。

动画演示：

场景一：正方形折叠演示

师：这就是我们得到的正方形。下面请同学们拿出三角板(刻度尺)和圆规，我们来研究正方形的几何性质—边、角以及对角线之间的关系。请大家测量各边的长度、各角的大小、对角线的长度以及对角线交点到各顶点的长度。

[学生活动：各自测量。]

鼓励学生将测量结果与邻近同学进行比较，找出共同点。

讲授新课

找一两个学生表述其结论，表述是要注意纠正其语言的规范性。

动画演示：

场景二：正方形的性质

师：这些性质里那些是矩形的性质?

[学生活动：寻找矩形性质。]

动画演示：

场景三：矩形的性质

师：同样在这些性质里寻找属于菱形的性质。

[学生活动;寻找菱形性质。]

动画演示：

场景四：菱形的性质

师：这说明正方形具有矩形和菱形的全部性质。

及时提出问题，引导学生进行思考。

师：根据这些性质，我们能不能给正方形下一个定义?怎么样给正方形下一个准确的定义?

[学生活动：积极思考，有同学做跃跃欲试状。]

师：请同学们回想矩形与菱形的定义，可以根据矩形与菱形的定义类似的给出正方形的定义。

学生应能够向出十种左右的定义方式，其余作相应鼓励，把以下三种板书：

“有一组邻边相等的矩形叫做正方形。”

“有一个角是直角的菱形叫做正方形。”

“有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。”

[学生活动：讨论这三个定义正确不正确?三个定义之间有什么共同和不同的地方?这出教材中采用的是第三种定义方式。]

师：根据定义，我们把平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系梳理一下。

困为这个命题不是“如果……那么……”的形式，所以学生说出或写出它的逆命题时可能会有一定的困难帮助学生分析它的条件和结论，再写出其逆命题，最后应要求学生按证明的格式将证明过程书写出来。

2)猜想：我们说“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”，那么，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上有什么性质?

引导学生自主发现线段垂直平分线的判定。

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

3)符号语言

∵PA=PB

∴P在线段AB的垂直平分线上

4)定理解释

只要有PA=PB，则P为CD上的任意一点

5)此定理应用于证明一点在某条线段的垂直平分线上

2巩固练习

1)已知点A和线段BC，且AB=AC，则点A在。

2)如果平面内的点C、D、E到线段AB的两端点的距离相等，则C、D、E均在线段AB的。

3)设是线段AB的垂直平分线，且CA=CB，则点C一定。

3、讲解例题

例1填空：

1、如图，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线。

1)则BD=;

2)若∠B=40°，则∠BAC=°，∠DAB=°，∠DAC=°，∠CDA=°;

3)若AC=4，BC=5，则DA+DC=，△ACD的周长为。

2、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，DE为AB的中垂线，则∠1=°，∠C=°，∠3=°，∠2=°;若△ABC的周长为16cm，BC=4cm，则AC=，△BCE的周长为。

例2如图，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，AC=5，BC=8，求△AEC的周长。

分析：此题侧重于让学生体会解题过程，培养学生的逻辑思维。讲解时借助细绳，让学生更好地理解各线段之间的关系。

例3已知在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长是13cm，求△ABC的周长。

分析：此题与上例类似，在证明时，要多一步，要说明AC的长度。讲解时借助细绳，让学生更好地理解各线段之间的关系。

　　三、随堂练习

1、书本P26随堂练习1

2、《练习册》P6

3、如图 ……此处隐藏818个字……A、PB量出PA=？，PB=？引导学生观察这两个值有什么关系？

通过学生的观察、分析得出结果PA=PB，再取一点P＇试一试仍然有P＇A=P＇B，引导学生猜想EF上的所有点和点A、点B的`距离都相等，再请同学把这一结论叙述成命题（用幻灯展示）。

定理：上的点和这条线段的两个端点的距离相等。

这个命题，是我们通过作图、观察、猜想得到的，还得在理论上加以证明是真命题才能做为定理。

已知：如图，直线EF⊥AB，垂足为C，且AC=CB，点P在EF上

求证：PA=PB

如何证明PA=PB学生分析得出只要证RTΔPCA≌RTΔPCB

证明：∵PC⊥AB（已知）

∴∠PCA=∠PCB（垂直的定义）

在ΔPCA和ΔPCB中

∴ΔPCA≌ΔPCB（SAS）

即：PA=PB（全等三角形的对应边相等）。

反过来，如果PA=PB，P1A=P1B，点P，P1在什么线上？

过P，P1做直线EF交AB于C，可证明ΔPAP1≌PBP1（SSS）

∴EF是等腰三角型ΔPAB的顶角平分线

∴EF是AB的垂直平分线（等腰三角形三线合一性质）

∴P，P1在AB的垂直平分线上，于是得出上述定理的逆定理（启发学生叙述）（用幻灯展示）。

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条上。

根据上述定理和逆定理可以知道：直线MN可以看作和两点A、B的距离相等的所有点的集合。

可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。

三、举例（用幻灯展示）

例：已知，如图ΔABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P，求证：PA=PB=PC。

证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上

∴PA=PB

同理PB=PC

∴PA=PB=PC

由例题PA=PC知点P在AC的垂直平分线上，所以三角形三边的垂直平分线交于一点P，这点到三个顶点的距离相等。

四、小结

正确的运用这两个定理的关键是区别它们的条件与结论，加强证明前的分析，找出证明的途径。定理的作用是可证明两条线段相等或点在上。

五、练习与作业

练习：第87页1、2

作业：第95页2、3、4

一．教学时间

xxxx年12月10日

二．教学班级：初二（6）班

三．教学目的

1．给学生复习线段垂直平分线的定义和作法。

2．给学生复习点与点之间的距离，是指线段的长而不是线段。

3．教会学生线段垂直平分线的定理和逆定理的推导方法。

4．让学生充分理解线段垂直平分线的定理和逆定理并能熟练背诵。

5．通过多种练习，让学生学会熟练运用线段垂直平分线的定理和逆定理。

6．让学生明确线段垂直平分线的联系与区别。

过程与方法（流程图）

（１）提出问题（２）讨论问题（３）解决问题

情感态度价值观

１．通过对旧知识的回顾和运用，让学生明白，平时应经常复习和巩固旧知识，做到温故而知新．

２．在学生得出结论的同时让学生证明，可以让他们明白任何结论都必须有科学依据，又激发了学生的求知欲和探究欲．

３．让学生自己用语言来描述定理和逆定理时，检验了他们的语言表达能力，使他们明白学科之间是相通的．

４．在整个学习过程中，学生会深刻体会团体合作的重要性和竞争的快乐．

四．教学过程

（一）．画线段AB，画AB的垂直平分线MN，MN上任意取一点P，连结PA、PB，则PA、PB的长是点P和AB两个端点A点和B点的距离。

教师提问：PA、PB在长度上有怎样的关系？怎样证明？

学生回答：PA=PB

已知：MN是AB的垂直平分线

求证：PA=PB

证明：∵MN是AB的垂直平分线（已知）

∴∠PCA=∠PCB=90?

AC=BC（垂直平分线的定义）

在△PCA和△PCB中

AC=BC(已证)

∠PCA=∠PCB(已证)

PC=PC(公共边)

∴△PCA≌△PCB(S.A.S)

∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）

定理:

线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.

∵MN是AB的垂直平分线

∴PA=PB

（二）．画线段AB和点Q，连结QA、QB，使QA=QB。

教师提问：点Q在怎样的一条线上?

学生回答：AB的垂直平分线上

已知：QA=QB

求证：Q在AB的垂直平分线上

证明:

过Q作直线MN⊥AB

,垂足为C

∵QA=QB(已知)

∴AC=BC(等腰三角形的三线合一)

∴MN是AB的垂直平分线(垂直平分线的定义)

∴Q在AB的垂直平分线上

逆定理:

和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

∵QA=QB

∴Q在AB的垂直平分线上

（三）．试一试

1.如图,在△ABC中,∠C=90?,ＭＮ是ＡＢ的中垂线.

(1)如果MB=10cm,那么MA=_______.

(2)如果∠A=35?,那么∠1=

(3)如果△MCB的周长为30cm,那么AC+BC=_______.

2.如图，△ABC中，∠C=90?,D为AB的中点，D在线段_________的垂直平分线上。

（四）．例1.已知:在△ABC中,ON是AB的垂直平分线,OA=OC.

求证:点O在BC的垂直平分线上.

证明:连结BO

∵ON是AB的垂直平分线(已知)

∴OA=OB(线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等)

∵OA=OC(已知)

∴OB=OC(等量代换)

∴点O在BC的垂直平分线上(和一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的线段的垂直平分线上)

（五）．练习

1.作图

(1)在直线MN上找出一点P,使PA=PB.

(2)找一点P,使它到A｀B｀C三点的距离相等．

∴点Ｐ就是所要求作的点．

２．已知：如图，Ｄ是ＢＣ延长线上的一点，ＢＤ＝ＢＣ＋ＡＣ

求证：点Ｃ在ＡＤ的垂直平分线上．

３．已知：∠Ｃ＝９０?，ＡＢ的垂直平分线分别交ＡＣ｀ＡＢ于Ｍ｀Ｎ，ＡＭ＝２ＣＭ。

求证：∠Ａ＝３０